Question

6．已知F₁，F₂是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且∠F₁PF₂=$\frac{2π}{3}$，若△PF₁F₂的面积为$9\sqrt{3}$，则b=（　　）

• A． 9
• B． 3
• C． 4
• D． 8

Answer 1

分析 设|PF₁|=m，|PF₂|=n，利用定义可得m+n=2a，利用余弦定理可得：（2c）²=m²+n²-2mn$cos\frac{2π}{3}$=（m+n）²-mn，化简可得：4b²=mn．又$\frac{1}{2}$mnsin$\frac{2π}{3}$=9$\sqrt{3}$，代入解出即可得出．

解答 解：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则m+n=2a，
（2c）²=m²+n²-2mn$cos\frac{2π}{3}$=（m+n）²-mn，
∴4b²=mn．
又$\frac{1}{2}$mnsin$\frac{2π}{3}$=9$\sqrt{3}$，∴$2{b}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=9$\sqrt{3}$，解得b=3．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．