Question

设函数f(x)=

2x   x≥0 loga(1-ax)   x＜0

，其中a＞0且a=1．
（1）若f（-1）=2，求a；
（2）若a=2，求不等式f（x）＜2的解集；
（3）若f（x）在定义域内为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得log_a（1+a）=2，a²=1+a，解方程求得a的值．
（2）a=2时，由f（2）＜2，分x≥0 和x＜0 两种情况，分别求出不等式的解集，再把解集取并集，即得所求．
（3）若x≥0，f（x）=2^x  在[0，+∞）上单调递增，若x＜0，由 f（x）=log_a（1-ax）单调递增，可得
0＜a＜1． 由此求得a的取值范围．

解答：（1）由题意可得 f（-1）=log_a（1+a）=2，
∴a²=1+a，∴a²-a-1=0，∴a=

1± 5

2

．
∵a＞0，∴a=

1+ 5

2

．
（2）a=2，∴f(x)=

2x    ， x≥0 log2(1-2x) ， x＜0

，∵不等式为 f（2）＜2，
当x≥0时，不等式即 2^x＜2，∴x＜1．
当x＜0时，不等式即 log₂（1-2x）＜2，∴1-2x＜4，∴x＞-

3

2

．
∴f（x）＜2的解集为[0，1）∪（-

3

2

，0）=(-

3

2

 ，  1)．
（3）若x≥0，f（x）=2^x  在[0，+∞）上单调递增．
若x＜0，由 f（x）=log_a（1-ax）单调递增，可得 0＜a＜1．
综上，a的取值范围为（0，1）．

点评：本题主要考查对数函数、指数函数的单调性和特殊点，复合函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题