Question

【题目】已知点 A（a ， b），抛物线C ： （a ≠0 ， b ≠0 ， a ≠2p）.过点 A 作直线l ，交抛物线 C 于点P 、Q .如果以线段 PQ 为直径的圆过抛物线C 的顶点，求直线 l 的方程

Answer 1

【答案】bx -（a -2p）y -2bp =0 或.

【解析】

1.如果直线 l 过原点， 显然满足要求， 此时方程为.

2.如果直线 l 不过原点， 设其方程为x = m（y - b） + a .

又设 P（x1 ， y1）、Q（x2 ， y2）， 则OP ⊥OQ.

因为， 所以，.

由方程组消去x得. ①

由韦达定理得.

所以，.

故所求方程为bx -（a -2p）y -2bp =0 . ②

由于-4p2 < 0 ， 所以， -2p（a - bm）< 0， 即方程①的常数项为负 .

从而， 判别式大于 0， 方程 ①一定有解 y1、y2.故方程②符合题意.

综上直线 l 的方程为或bx -（a -2p）y -2bp =0 .