Question

3．如图，已知直线MA切圆O于点A，割线MCB交圆O于点C，B两点，∠BMA的角平分线分别与AC，AB交于E，D两点．
（1）证明：AE=AD；
（2）若AB=5，AE=2，求$\frac{MA}{MC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用MD平分∠BMA，可得∠MAC+∠EMA=∠B+∠CME，利用切线的性质，可得∠MAC=∠B，可得∠AED=∠ADE，即可证明AE=AD；
（Ⅱ）利用切割线定理求出DB，即可求出$\frac{MA}{MC}$的值．

解答 证明：（Ⅰ）因为直线MA切圆O于点A，所以∠MAC=∠B，
因为MD平分∠BMA，
所以∠MAC+∠EMA=∠B+∠CME，
又因为∠AED=∠MAC+∠EMA，∠ADE=∠B+∠CME，
所以∠AED=∠ADE，所以AE=AD．
解：（Ⅱ）因为直线MA切圆O于点A，
所以由切割线定理得MA²=MC•MB，即$\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MA}$，
因为直线MA切圆O于点A，
所以∠B=∠MAC，
所以△MBD∽△MAE，得$\frac{MB}{MA}=\frac{BD}{AE}$，
又AB=5，AD=AE=2，
所以BD=AB-AD=3，
所以$\frac{MA}{MC}=\frac{BD}{AE}=\frac{3}{2}$，
所以$\frac{MA}{MC}=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查圆的切线的性质，切割线定理，考查学生的计算能力，属于中档题．