Question

已知函数f（x）=6lnx（x＞0）和g（x）=ax²+8x-b（a，b为常数）的图象在x=3处有公切线．
（1）求实数a的值；
（2）求函数F（x）=f（x）-g（x）的极大值和极小值；
（3）关于x的方程f（x）=g（x）有几个不同的实数解？

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）先对两个函数求导，再由题目条件知，f′（3）=g′（3）从而建立关于a的方程，可求得a的值．
（2）由（1）确定了函数及其导数的解析式，通过探讨导数的符号得函数的单调性，即可的函数的极大值和极小值．
（3）由（2）可得结论．

解答： 解：（1）f′（x）=

6

x

，g′（x）=2ax+8，
根据题意，得f′（3）=g′（3）
解得a=-1；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=6lnx+x²-8x．
令F′（x）=

6

x

+2x-8，得x=1，3．
∵0＜x＜1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；
1＜x＜3时，F′（x）＜0，F（x）单调递减；
x＞3时，F′（x）＞0，F（x）单调递增．
∴F（x）的极大值为F（1）=-7，F（x）的极小值为F（3）=-15+6ln3；
（3）∵F（x）的极大值为F（1）=-7＜0，F（x）的极小值为F（3）=-15+6ln3＜0，
∴关于x的方程f（x）=g（x）有1个不同的实数解．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，同时考查了导数的几何意义，以及学生灵活转化题目条件的能力，是个中档题．