Question

【题目】如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，上、下底面的面积之比为1：4，侧面A1ABB1⊥底面ABC，并且A1A＝A1B1，∠AA1B＝90°．

（1）平面A1C1B∩平面ABC＝l，证明：A1C1∥l；

（2）求平面A1C1B与平面ABC所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）在三棱台中，根据线面平行的判定和性质可得所证结论．（2）建立空间直角坐标系，求出平面A1C1B与平面ABC的法向量，然后求出两向量夹角的余弦值，于是可得所求正弦值．

（1）证明：在三棱台ABC﹣A1B1C1中，可得A1C1∥AC，

且A1C1平面ABC，AC平面ABC，

所以A1C1∥平面ABC，

又A1C1平面A1C1B，平面A1C1B∩平面ABC＝l，

所以A1C1∥l．

（2）根据题意，以AB的中点为原点，AB为x轴，OC为y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．

由于，

∴，

则，

设平面的法向量为，

则，即，

令，得，

∴．

由题意知，平面ABC的法向量为．

∴，

∴．

即平面A1C1B与平面ABC所成二面角的正弦值为．