Question

【题目】已知为坐标原点，椭圆：的离心率为，直线：交椭圆于，两点，，且点在椭圆上，当时，.

（1）求椭圆方程；

（2）试探究四边形的面积是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）根据点差法得，解得M坐标，代入椭圆方程，与离心率联立方程组解得（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理与弦长公式、面积公式得四边形的面积.

解：（1）由，，故椭圆方程可化为，

设，，

则，，

两式相减整理得，

当时，，

解得，

将与联立，

解得中点坐标为，

故代入椭圆方程，

整理得，

解得，故椭圆的方程为.

（2）设中点为，，，

把代入椭圆，

整理得，

，，，

所以，.

设，

则，，

代入椭圆，得，

.

①当时，设交轴于点，则.

.

②当时，的面积为，

故面积为定值.

因为，

所以四边形面积为定值3.