Question

15．向量$\overrightarrow a=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx）$，$\overrightarrow b=（1，y）$，已知$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，且有函数y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的周期；
（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有$f（A-\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$，边BC=$\sqrt{7}$，sinB=$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，求AC的长及△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由平面向量共线的性质，两角和的正弦函数公式可求$y=f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）$，利用正弦函数的周期公式即可计算得解．
（2）由$f（A-\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$，可得$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，结合△ABC是锐角三角形，可求$A=\frac{π}{3}$，由正弦定理可得AC，利用余弦定理可求AB，进而根据三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）由$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，可得：$\frac{1}{2}y-（\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx）=0$，
即$y=f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）$，
所以，函数f（x）的周期为T=$\frac{2π}{1}$=2π．
（2）由$f（A-\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$，可得：$2sin（A-\frac{π}{3}+\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$，即$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∵△ABC是锐角三角形，
∴可得：$A=\frac{π}{3}$，
∵由正弦定理：$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$及条件$BC=\sqrt{7}$，$sinB=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
可得：$AC=\frac{BC•sinB}{sinA}=\frac{{\sqrt{7}•\frac{{\sqrt{21}}}{7}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=2$，
又∵BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA，即$7=A{B^2}+4-2•AB×2×\frac{1}{2}$，解得：AB=3，
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}AB•AC•sinA=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题主要考查了平面向量共线的性质，两角和的正弦函数公式，正弦函数的周期公式，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．