Question

11．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=1，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为120°．
（1）若（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$），求λ的值；
（2）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为120°，利用数量积的定义可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-4．由于（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$），可得（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）=0，代入解出即可．
（2）不妨设$\overrightarrow{a}$=（4，0），$\overrightarrow{b}$=$（-1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ）．可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=$2\sqrt{3}$$sin（θ+\frac{π}{3}）$≤2$\sqrt{3}$，即可得出．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为120°，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4×2×cos120°=-4．
∵（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$），
∴（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）=$2{\overrightarrow{a}}^{2}-3λ{\overrightarrow{b}}^{2}$+$（2λ-3）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2×4²-3λ×2²+（2λ-3）×（-4）=0，
解得λ=$\frac{11}{5}$．
（2）不妨设$\overrightarrow{a}$=（4，0），$\overrightarrow{b}$=$（-1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ）．
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=3cosθ+$\sqrt{3}$sinθ=$2\sqrt{3}$$sin（θ+\frac{π}{3}）$≤2$\sqrt{3}$，当$sin（θ+\frac{π}{3}）$=1时取等号．
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$的最大值为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了数量积的定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角函数的值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．