Question

已知点P与定点F的距离和它到定直线l:的距离之比是1 : 2.
(1)求点P的轨迹C方程;
(2)过点F的直线交曲线C于A, B两点, A, B在l上的射影分别为M, N.
求证AN与BM的公共点在x轴上.

Answer 1

（1）（2）见解析

(1) 如图(1) 设P点的坐标为,
则由题设得:,
化简得: ,
即即.
∴点P的轨迹C的方程是.
(2) ①当AB轴时, A、B的坐标分别为, ,
AN与BM的交点为在x轴上.
②当AB不垂直于x轴时,设直线AB的方程为,
代入椭圆,得
设, , 则, ,
且 ∵直线AN方程是,
直线BM方程是.
联列, 得, 消去y, 得: .
即 即,
把代入直线AN的方程
得
 ∴AN与BM交于点是x轴上一定点.
(2) 解法二:如图(2) 当AB不垂直于x轴时,
设AF＝n, 则AM＝2n, 设BF＝m, 则BN＝2m,
在△ABN和△BAM中, FH∥AM, FH₁∥BN,
∴△ABN∽△AFH和△BAM∽△BFH₁
∴

同理可推, ∴
,
∴,∴H与H₁重合，∴AN与BM交点是x轴上一定点.