Question

（本题满分14分）已知椭圆的离心率为，右焦点也是抛物线的焦点。     
（1）求椭圆方程；
（2）若直线与相交于、两点。
①若,求直线的方程；
②若动点满足，问动点的轨迹能否与椭圆存在公共点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

   

（1）根据，即，据得，故，
所以所求的椭圆方程是。（3分）
（2）①当直线的斜率为时，检验知。设，
根据得得。
设直线，代入椭圆方程得，
故，得，
代入得，即，
解得，故直线的方程是。 （8分）
②问题等价于是不是在椭圆上存在点使得成立。
当直线是斜率为时，可以验证不存在这样的点，
故设直线方程为。（9分）
用①的设法，点点的坐标为，
若点在椭圆上，则，
即，
又点在椭圆上，故，
上式即，即，
由①知

，
代入得，
解得，即。（12分）
当时，，
；
当时，，
。
故上存在点使成立，
即动点的轨迹与椭圆存在公共点，
公共点的坐标是。（14分）