Question

5．已知三棱锥A-BCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=2，则三棱锥A-BCD的外接球体积为4$\sqrt{3}π$．

Answer 1

分析 取AD的中点O，连结OB、OC．由线面垂直的判定与性质，证出AB⊥BD且AC⊥CD，得到△ABD与△ACD是具有公共斜边的直角三角形，从而得出OA=OB=OC=OD=$\frac{1}{2}$AD，所以A、B、C、D四点在以O为球心的球面上，再根据题中的数据利用勾股定理算出AD长，即可得到三棱锥A-BCD外接球的半径大小．

解答 解：取AD的中点O，连结OB、OC
∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD，
又∵BC⊥CD，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴CD⊥AC，
∵OC是Rt△ADC的斜边上的中线，OC=$\frac{1}{2}$AD．
同理可得：Rt△ABD中，OB=$\frac{1}{2}$AD，
∴OA=OB=OC=OD=$\frac{1}{2}$AD，可得A、B、C、D四点在以O为球心的球面上．
Rt△ABD中，AB=2且BD=2$\sqrt{2}$，可得AD=$\sqrt{4+8}$=2$\sqrt{3}$，
由此可得球O的半径R=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{3}$，
∴三棱锥A-BCD的外接球体积为$\frac{4}{3}π•（\sqrt{3}）^{3}$=4$\sqrt{3}$π．
故答案为：4$\sqrt{3}$π．

点评 本题已知三棱锥的底面为直角三角形，求三棱锥A-BCD的外接球体积．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球内接多面体等知识，属于中档题．