Question

15．已知m∈R，命题p：关于实数x的方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根；命题q：关于实数x的方程x²+mx+1=0有两个不等的负根．
（Ⅰ）写出一个能使命题p成立的充分不必要条件；
（Ⅱ）当命题p与命题q中恰有一个为真命题时，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简p，求出成立时参数所满足的范围，即可写出能使命题p成立的充分不必要条件，
（2）化简q，命题p与命题q中恰有一个为真命题，分类讨论，求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）命题p：△=16（m-2）²-16＜0，解得1＜m＜3，
即关于实数x的方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根充要条件是1＜m＜3，
则能使命题p成立的充分不必要条件为1＜m＜2，（答案不唯一，{m|1＜m＜3}的真子集均可）；
（2）命题q：$\left\{\begin{array}{l}{{△}_{1}={m}^{2}-4＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-m＜0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1＞0}\end{array}\right.$，解得m＞2
命题p：1＜m＜3
∵命题p与命题q中恰有一个为真命题
①p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m≥3或m≤1}\end{array}\right.$，∴m≥3．
②p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{1＜m＜3}\end{array}\right.$，∴1＜m≤2．
∴m的取值范围是{m|1＜m≤2或m≥3}．

点评 本题考查复合命题真假的判断条件．解决此类问题，要转化成判断构成复合命题的两个命题的真假．同时考查学生的逻辑思维能力．