Question

4．求所有定义在非零实数上的函数f（x），它满足：
（1）对所有非零实数x，f（x）=xf（$\frac{1}{x}$）；
（2）对所有x+y≠0的非零实数对（x，y），f（x）+f（y）=1+f（x+y）．

Answer 1

分析 利用赋值法，构造函数g（x）=f（x）-1，判断出函数g（x）为奇函数，再通过证明得到g（x）=x，继而求出函数f（x）．

解答 解：∵f（x）+f（y）=1+f（x+y），
令g（x）=f（x）-1，
∴g（x+y）=g（x）+g（y）…（1）
∴g（x）+1=xg（$\frac{1}{x}$）+x…（2），
令x=-1，则g（-1）+1=-g（-1）-1，
解得g（-1）=-1，
再对（1）取y=-x-1得-1=g（x-x-1）=g（x）+g（-x）+g（-1），
∴g（-x）=-g（x），
即g（x）是奇函数．
将（2）变形为：
g（x）-x=x[g（$\frac{1}{x}$）-$\frac{1}{x}$]…（3）
如果存在a＞0使得g（a）＞a，那么g（$\frac{1}{a}$）＞$\frac{1}{a}$，
∵g（-a）=-g（a）＜-a，
在（3）中取x=-a得到g（-$\frac{1}{a}$）＞-$\frac{1}{a}$，
∴g（$\frac{1}{a}$）=-g（-$\frac{1}{a}$）＜$\frac{1}{a}$，矛盾．
同理可以证明不存在a＞0使得g（a）=0时只能有g（a）=a．
再利用奇函数的性质得a＜0时也有g（a）=a，
即（1）和（2）只有唯一解
g（x）=x，
∴f（x）=x+1

点评 本题考查抽象函数及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，正确赋值是迅速解题的关键，考查函数解析式的求法：函数方程法，属于难题．