Question

提高穿山隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下，隧道内的车流速度v（单位：千米、小时）是车流密度x（单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数．当隧道内的车流密度达到210辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当30≤x≤210时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x≤210时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（I）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在60≤x≤600时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；
（II）由（Ⅰ）可知f(x)=

60x，0≤x≤30 - 1 3 x2+70x，30≤x≤210

，分段求最值，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，当0≤x≤30时，v（x）=60；
当30≤x≤210时，设v（x）=ax+b，
由已知可得

30a+b=60 210a+b=0

，解得

a=- 1 3 b=70

．
所以函数v(x)=

60，0≤x≤30 - 1 3 x+70，30≤x≤210

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)=

60x，0≤x≤30 - 1 3 x2+70x，30≤x≤210

当0≤x≤30时，f（x）=60x为增函数，
∴当x=30时，其最大值为1800．…（9分）
当30≤x≤210时，f(x)=-

1

3

x2+70x=-

1

3

(x-105)2+3675，
当x=105时，其最大值为3675．…（11分）
综上，当车流密度为105辆/千米时，车流量最大，最大值为3675辆．…（12分）

点评：本题给出车流密度的实际问题，求车流量的最大值及相应的车流密度，着重考查了函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．