Question

9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x-1，且∠A=2∠C，则△ABC的周长为15．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式可得：cosC=$\frac{x+1}{2（x-1）}$，又由余弦定理可得：cosC=$\frac{（x+1）^{2}+{x}^{2}-（x-1）^{2}}{2x（x+1）}$，从而可得$\frac{（x+1）^{2}+{x}^{2}-（x-1）^{2}}{2x（x+1）}$=$\frac{x+1}{2（x-1）}$，解得x，即可得解三角形的周长．

解答 解：∵∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x-1，且∠A=2∠C，
∴由正弦定理可得：$\frac{x+1}{sinA}=\frac{x-1}{sinC}$，
∴$\frac{x+1}{2sinCcosC}=\frac{x-1}{sinC}$，可得：cosC=$\frac{x+1}{2（x-1）}$，
又∵由余弦定理可得：cosC=$\frac{（x+1）^{2}+{x}^{2}-（x-1）^{2}}{2x（x+1）}$，
∴$\frac{（x+1）^{2}+{x}^{2}-（x-1）^{2}}{2x（x+1）}$=$\frac{x+1}{2（x-1）}$，整理即可解得x=5，
∴△ABC的周长为：（x+1）+x+（x-1）=3x=15．
故答案为：15．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．