Question

10．已知函数f（x）=$\frac{{t•{3^x}-1}}{{{3^x}+1}}（{t∈R}）$是奇函数．
（1）求t的值；
（2）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（3）对于任意的m＞0，解不等式：f^-1（x）＞log₃$\frac{1+x}{m}$．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）=$\frac{{t•{3^x}-1}}{{{3^x}+1}}（{t∈R}）$是奇函数，可得f（0）=0，解得t，并验证是否满足条件即可．
（2）由（1）可得：y=f（x）=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{3}^{x}+1}$，可得y∈（-1，1）．化为3^x=$\frac{1+y}{1-y}$（y≠1），把x与y互换可得${3}^{y}=\frac{1+x}{1-x}$，两边取对数即可得出反函数．
（3）对于任意的m＞0，解不等式：f^-1（x）＞log₃$\frac{1+x}{m}$．（x∈（-1，1））．化为$\frac{1+x}{1-x}$＞$\frac{1+x}{m}$，又x∈（-1，1））．化为m＞1-x，对m分类讨论即可得出．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{{t•{3^x}-1}}{{{3^x}+1}}（{t∈R}）$是奇函数，∴f（0）=$\frac{t-1}{2}$=0，解得t=1，经过验证满足条件，∴t=1．
（2）由（1）可得：y=f（x）=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{3}^{x}+1}$，可得y∈（-1，1）．
解得3^x=$\frac{1+y}{1-y}$（y≠1），把x与y互换可得${3}^{y}=\frac{1+x}{1-x}$，∴y=$lo{g}_{3}\frac{1+x}{1-x}$，（x∈（-1，1））．
∴f（x）的反函数f^-1（x）=$lo{g}_{3}\frac{1+x}{1-x}$，（x∈（-1，1））．
（3）对于任意的m＞0，解不等式：f^-1（x）＞log₃$\frac{1+x}{m}$．（x∈（-1，1））．
即$lo{g}_{3}\frac{1+x}{1-x}$＞log₃$\frac{1+x}{m}$．
∴$\frac{1+x}{1-x}$＞$\frac{1+x}{m}$，
又∵x∈（-1，1））．
∴m＞1-x，
当0＜m≤2时，解得1＞x＞1-m．
当m＞2时，解得1＞x＞-1．
∴不等式：f^-1（x）＞log₃$\frac{1+x}{m}$的解集为：
当0＜m≤2时，解集为（1-m，1）；
当m＞2时，解集为（-1，1）．

点评 本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的单调性、不等式的解法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．