Question

18．已知椭圆E的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），E上动点P到右焦点F距离的最大值为3，且离心率e=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过F任作直线l交椭圆E于M、N两点，且线段MN垂直平分线交x轴于一点D．问是否存在常数λ，使|FD|=λ|MN|．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由根据离心率公式及a+c=3，列方程组，即可求得a和c的值，则b²=a²-c²=3，即可求得b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）由直线l的斜率存在，将直线方程代入椭圆方程，利用弦长公式及三角形的性质，分别求得|FD|，|MN|．即可求得$|DF|=\frac{1}{4}|MN|$．则存在$λ=\frac{1}{4}$，使得|FD|=λ|MN|．

解答 解（Ⅰ）由已知得$\left\{\begin{array}{l}a+c=3\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，…（2分）
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ c=1\end{array}\right.$，则b²=a²-c²=3，…（4分）
∴椭圆E的方程为；$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的右焦点F坐标为（1，0），
∵线段MN垂直平分线交x轴于一点D，∴直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=k（x-1），
（1）当k=0时，|MN|=2a=4，|FD|=c=1，取$λ=\frac{1}{4}$，$|FD|=\frac{1}{4}|MN|$；…（7分）
（2）当k≠0时，设G为线段MN的中点，且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），G（x₀，y₀），
设α为直线l的倾斜角，则$|DF|=\frac{|FG|}{|cosα|}=|FG|\sqrt{1+{{tan}^2}α}=|FG|\sqrt{1+{k^2}}$=$\sqrt{{{（{x_0}-1）}^2}+y_0^2}•\sqrt{1+{k^2}}=\sqrt{（1+{k^2}）{{（{x_0}-1）}^2}}•\sqrt{1+{k^2}}=|{x_0}-1|（1+{k^2}）$①…（9分）
$|MN|=\sqrt{（1+{k^2}）{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}$②…（11分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得，（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$、${x_1}•{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$、${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{{4{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$…（13分）
代入①②两式并整理得：$|DF|=\frac{{3（1+{k^2}）}}{{3+4{k^2}}}$，$|MN|=\frac{{12（1+{k^2}）}}{{3+4{k^2}}}$，…（14分）
则$|DF|=\frac{1}{4}|MN|$．
∴存在$λ=\frac{1}{4}$，使得|FD|=λ|MN|．…（16分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．