Question

10．如图，在直三棱柱ABC-A'B'C'中，AB=AC，D、E分别是棱BC、CC'上的点（点D不同于点C），且AD⊥BC，F为B'C'的中点．求证：
（Ⅰ）平面ADE⊥平面BCC'B'；     
（Ⅱ）直线A'F∥平面ADE．

Answer 1

分析 （I）根据AD⊥BC，AD⊥BB′得出AD⊥平面BCC′B′，于是平面ADE⊥平面BCC'B'； 
（II）连结DF，证明四边形ADFA′是平行四边形得出A′F∥AD，于是A'F∥平面ADE．

解答 证明：（I）∵BB′⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴AD⊥BB′，
∵AD⊥BC，BB′∩BC=B，BB′?平面BCC′B′，BC?平面BCC′B′，
∴AD⊥平面BCC′B′，
又AD?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCC'B'．
（II）连结DF，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D是BC的中点，又F是B′C′的中点，
∴B′F$\stackrel{∥}{=}$BD，∴四边形BDFB′是平行四边形，
∴DF$\stackrel{∥}{=}$BB′，又BB′$\stackrel{∥}{=}$AA′，
∴DF$\stackrel{∥}{=}$AA′，∴四边形ADFA′是平行四边形，
∴A′F∥AD，
又A′F?平面ADE，AD?平面ADE，
∴A′F∥平面ADE．

点评 本题考查了面面垂直的判定，线面平行的判定，属于中档题．