Question

如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC₁上，已知AB＝AC，AA₁＝3，BC＝CF＝2.

(1)求证：C₁E∥平面ADF；
(2)设点M在棱BB₁上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF?

Answer 1

（1）见解析（2）当BM＝1时

(1)证明：连结CE交AD于O，连结OF.
因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心，.
从而OF//C₁E.OF平面ADF，C₁E平面ADF，所以C₁E∥平面ADF.
(2)解：当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF.
在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，由于B₁B⊥平面ABC，BB₁平面B₁BCC₁，所以平面B₁BCC₁⊥平面ABC.由于AB＝AC，D是BC中点，所以AD⊥BC.又平面B₁BCC₁∩平面ABC＝BC,所以AD⊥平面B₁BCC₁.而CM平面B₁BCC₁，于是AD⊥CM.因为BM＝CD＝1，BC＝CF＝2，所以Rt△CBM≌Rt△FCD，所以CM⊥DF.DF与AD相交，所以CM⊥平面ADF.CM⊥平面CAM，所以平面CAM⊥平面ADF.当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF.