Question

17．已知数列{$\frac{{a}_{n}}{n+2}$}为等比数列，且a₂=16，a₃=40，则数列{$\frac{{4}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前60项和为$\frac{10}{63}$．

Answer 1

分析 设等比数列{$\frac{{a}_{n}}{n+2}$}的公比为q，由于a₂=16，a₃=40，可得$\frac{40}{3+2}$=$\frac{16}{2+2}×q$，解得q．可得a_n，再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：设等比数列{$\frac{{a}_{n}}{n+2}$}的公比为q，
∵a₂=16，a₃=40，
∴$\frac{40}{3+2}$=$\frac{16}{2+2}×q$，解得q=2．
∴$\frac{{a}_{n}}{n+2}$=$\frac{{a}_{2}}{4}$×q^n-2=4×2^n-2=2ⁿ，
∴a_n=（n+2）•2ⁿ，
∴$\frac{{4}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{4}^{n}}{（n+2）•{2}^{n}（n+3）•{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$．
数列{$\frac{{4}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前60项和=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}）$
=$\frac{n}{6（n+3）}$．
故答案为：$\frac{10}{63}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．