Question

2．设递增的等差数列{a_n}中，a₃+a₅=8，a₂•a₆=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设递增的等差数列{a_n}的公差为d＞0，∵a₃+a₅=8，a₂•a₆=12．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+6d=8}\\{（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+5d）=12}\end{array}\right.$，解得d=1=a₁，
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．