Question

12．已知点P在函数y=$\frac{1}{x}$的图象上，过点P的直线交x、y轴正半轴于点A、B，O为坐标原点，三角形△AOB的面积为S，若$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{PA}$且S∈[2，3]，则λ的取值范围是[2-$\sqrt{3}$，2$+\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 设点A、B的坐标分别为（a，0），（0，b），P（x₀，y₀），a＞0，b＞0，由$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{PA}$，得到x₀=$\frac{aλ}{1+λ}$，y₀=-$\frac{b}{1+λ}$，根据函数的性质和三角形的面积公式即可表示出4≤$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$≤6，解得即可．

解答 解：设点A、B的坐标分别为（a，0），（0，b），P（x₀，y₀），a＞0，b＞0，
则由$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{PA}$，
∴x₀=$\frac{aλ}{1+λ}$，y₀=-$\frac{b}{1+λ}$，
∴x₀•y₀=$\frac{abλ}{（1+λ）^{2}}$=1，
∴ab=$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$，
∵S∈[2，3]，S=$\frac{1}{2}$ab，
∴ab∈[4，6]，
∴4≤$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$≤6，
解得.2-$\sqrt{3}$≤λ≤2$+\sqrt{3}$
故答案为：[2-$\sqrt{3}$，2$+\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了定比分点以及函数的性质和三角形的面积公式，属于中档题．