Question

3．已知椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的右焦点为F，P是椭圆上一点，点$A（{0，2\sqrt{3}}）$，当△APF的周长最大时，△APF的面积等于（　　）

• A． $\frac{{11\sqrt{3}}}{4}$
• B． $\frac{{21\sqrt{3}}}{4}$
• C． $\frac{11}{4}$
• D． $\frac{21}{4}$

Answer 1

分析 利用椭圆的定义，确定△APF周长最大时，P纵坐标，即可求出△APF周长最大时，该三角形的面积．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的a=3，b=$\sqrt{5}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=2，
由题意，设F′是左焦点，
则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF′|=4+6+|PA|-|PF′|
≤10+|AF′|（A，P，F′三点共线时，且P在AF′的延长线上，取等号），
直线AF′的方程为$\frac{x}{-2}$+$\frac{y}{2\sqrt{3}}$=1与椭圆5x²+9y²=45，
联立可得32y²-20$\sqrt{3}$y-75=0，
解得P的纵坐标为-$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，
则△APF周长最大时，
该三角形的面积为$\frac{1}{2}$|FF′|•|y_A-y_P|
=2•|2$\sqrt{3}$+$\frac{5\sqrt{3}}{8}$|=$\frac{21\sqrt{3}}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的定义，以及三点共线时取得最值，同时考查三角形面积的计算，确定P的坐标是关键．