Question

8．已知函数f（x）=x³-x²-x+a的图象与x轴只有一个交点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（-$\frac{1}{9}$，+∞）
• B． （-$\frac{5}{27}$，1）
• C． （-∞，1）
• D． （-∞，-$\frac{5}{27}$）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 求出导数，求出单调区间，求出极值，曲线f（x）与x轴仅有一个交点，可转化成f（x）_极大值＜0或f（x）_极小值＞0即可．

解答 解：函数f（x）=x³-x²-x+a的导数为f′（x）=3x²-2x-1，
当x＞1或x＜-$\frac{1}{3}$时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当-$\frac{1}{3}$＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（1）为极小值，f（-$\frac{1}{3}$）为极大值．
∵f（x）在（-∞，-$\frac{1}{3}$）上单调递增，
∴当x→-∞时，f（x）→-∞；
又f（x）在（1，+∞）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞，
∴当f（x）_极大值＜0或f（x）_极小值＞0时，曲线f（x）与x轴仅有一个交点．
即a+$\frac{7}{25}$＜0或a-1＞0，
∴a∈（-∞，-$\frac{7}{25}$）∪（1，+∞），
故选：D．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性，属于中档题．