Question

16．在四棱锥P-ABCD中，四条侧棱长均为2，底面ABCD为正方形，E为PC的中点．若异面直线PA与BE所成的角为45°，则四棱锥的体积是（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 设底面ABCD的中心为O，PC中点为E，则∠BEO为异面直线PA与BE所成的角，于是OE=OB=1，从而求出棱锥的底面边长和棱锥的高．

解答 解：设底面ABCD的中心为O，PC中点为E，连结AC，OE，OB，PO．
则OE∥PA，OE=$\frac{1}{2}$PA=1．
∴∠BEO为异面直线PA与BE所成的角，即∠BEO=45°．
∵四边形ABCD是正方形，∴BO⊥AC．
∵PO⊥OB，PO∩AC=O，
∴BO⊥平面PAC，∵OE?平面PAC，
∴OB⊥OE，
∴△BOE是等腰直角三角形，
∴OB=OE=1，
∴PO=$\sqrt{P{B}^{2}-O{B}^{2}}=\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{2}$．
∴四棱锥的体积V=$\frac{1}{3}×（\sqrt{2}）^{2}×\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选D．

点评 本题考查了棱锥的结构特征，空间角的作法，体积计算，属于中档题．