Question

5．已知函数f（x）=cos2x+asinx在区间（0，nπ）内恰有8个零点，则实数a的取值范围与最小正整数n的值分别为（　　）

• A． （-1，1），2
• B． （-1，1），4
• C． [-1，1]，2
• D． [-1，1]，4

Answer 1

分析 换元法令sinx=t，则g（t）=-2t²+at+1，从而可得-2-a+1＜0且-2+a+1＜0，从而解得-1＜a＜1；再结合正弦函数的性质求解．

解答 解：f（x）=cos2x+asinx=-2sin²x+asinx+1，
令sinx=t，则g（t）=-2t²+at+1，
∵g（t）的图象开口向下，且g（0）=1，
∴若使正整数n最小，则g（t）=0的两个解都在（-1，1）上，
则g（-1）＜0且或g（1）＜0，
则-2-a+1＜0且-2+a+1＜0，
故-1＜a＜1；
而当sinx=t，t∈（-1，1）时，方程在一个周期内有两个解；
∵函数f（x）=cos2x+asinx在区间（0，nπ）内恰有8个零点，
∴y=sinx要有两个周期，
∴n的最小值为4，
故选B．

点评 本题考查了换元法的应用及复合函数的应用，同时考查了三角函数与二次函数的性质应用．