Question

15．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD=DC=DE=4，∠ADC=60°，AD⊥DE
（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角C-AE-D的余弦值的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过A作AH⊥DC交DC于H．证明AH⊥DE，AD⊥DE，然后证明DE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）过C作CM⊥AD交AD于M，过C作CN⊥AE交AE于N，连接MN．说明∠CNM就是所求二面角的一个平面角．然后求解即可．

解答 （本题满分15分）
证明：（Ⅰ）过A作AH⊥DC交DC于H．
∵平行四边形ABCD⊥平面CDE
∴AH⊥平面CDE
又∵DE?平面CDE
∴AH⊥DE…①由已知AD⊥DE…②，AH∩AD=A…③
由①②③得，DE⊥平面ABCD；   …（7分）
解：（Ⅱ）过C作CM⊥AD交AD于M，过C作CN⊥AE交AE于N，
连接MN．
由（Ⅰ）得DE⊥平面ABCD，
又∵DE?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ABCD．
∴CM⊥AE，
又∵CN垂直AE，且CM∩CN=C．

∴AE⊥平面CMN，得角CNM就是所求二面角的一个平面角．
又∵$CM=2\sqrt{3}$，$MN=\sqrt{2}$，
∴所求二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．…（8分）

点评 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．