Question

1．已知数列{a_n}满足a₁=1，（n+1）a_n=（n-1）a_n-1，（n≥2，n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n．证明：S_n＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意，可得a_n=$\frac{n-1}{n+1}$•$\frac{n-2}{n}$•$\frac{n-3}{n-1}$…×$\frac{2}{4}$×$\frac{1}{3}$×a₁=$\frac{2}{n（n+1）}$，再验证n=1时是否符合该式即可得到答案，
（Ⅱ）先裂项求和，再放缩法证明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=1，（n+1）a_n=（n-1）a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-2}{n}$，
…，
$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{3-1}{3+1}$=$\frac{2}{4}$，
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2-1}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，
∴a_n=$\frac{n-1}{n+1}$•$\frac{n-2}{n}$•$\frac{n-3}{n-1}$…×$\frac{2}{4}$×$\frac{1}{3}$×a₁=$\frac{2}{n（n+1）}$，
又n=1时a₁=1，满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$，
（Ⅱ）∵a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）＜2，
问题得以证明．

点评 本题考查数列递推式的应用，着重考查累乘法，裂项求和，放缩法证明不等式，属于中档题．