Question

10．如图，四边形ABCD是矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为线段CE上一点，且BF⊥平面ACE，AC交BD于点G．
（1）证明：AE∥平面BFD；
（2）求直线DE与平面ACE所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）连接FG，推导出BF⊥CE，从而得到FG∥AE，由此能证明AE∥平面BFD．
（2）推导出BC⊥AE，BF⊥AE，AE⊥BE，以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DE与平面ACE所成的角．

解答 证明：（1）连接FG，因为BF⊥平面ACE，CE?平面ACE，所以BF⊥CE．
又因为EB=BC，所以F为EC的中点，
而矩形ABCD中，G为AC的中点，所以FG∥AE，
又因为AE?平面BFD，FG?平面BFD，
所以AE∥平面BFD． …（5分）
解：（2）因为DA⊥平面ABE，BC∥DA，
所以BC⊥平面ABE，所以BC⊥AE．
又因为BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，所以BF⊥AE．
而BC∩BF=B，所以AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE．
又因为AE=EB=2，所以$AB=2\sqrt{2}$．以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意得A（0，0，0），$E（\sqrt{2}，\sqrt{2}，0）$，D（0，0，2），$C（0，2\sqrt{2}，2）$，
所以$\overrightarrow{AE}=（\sqrt{2}，\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{AC}=（0，2\sqrt{2}，2）$
设平面ACE的一个法向量为$\vec n=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\vec n•\overrightarrow{AE}=0\\ \vec n•\overrightarrow{AC}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0\\ 2\sqrt{2}y+2z=0\end{array}\right.$，
令x=1，得$\vec n=（1，-1，\sqrt{2}）$，
又因为$\overrightarrow{DE}=（\sqrt{2}，\sqrt{2}，-2）$，
设直线DE与平面ACE所成的角为α，
则$sinα=|{cos＜\vec n，\overrightarrow{DE}＞}|=\frac{{|{\vec n•\overrightarrow{DE}}|}}{{|{\vec n}|•|{\overrightarrow{DE}}|}}=\frac{{|{\sqrt{2}-\sqrt{2}-2\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{4}•\sqrt{8}}}=\frac{1}{2}$，所以$α=\frac{π}{6}$，
故直线DE与平面ACE所成的角为$\frac{π}{6}$． …（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．