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    如图1所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=-
    1
    2
    x    +b交折线OAB于点E．
    （1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
    （2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
    考点：根据实际问题选择函数类型,函数解析式的求解及常用方法
    专题：探究型
    分析：（1）由过D点的直线y=-
    1
    2
    x    +b分别求出直线过A，B，C时的b的值，然后分别求出E在线段OA和AB上的点E的坐标，当E在线段OA上时，直接由三角形的面积公式写出△ODE的面积，当E在线段BC上时，由矩形面积减去三个直角三角形的面积得△ODE的面积，最后分段写出即可；
    （2）通过作图得到矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，由平面几何知识得到重叠部分的四边形为菱形，设出菱形的边长，利用直线的斜率是-
    1
    2
    ，通过解直角三角形求出菱形的边长为定值，从而求得重叠部分的四边形的面积为定值．
    解答： 解：（1）由题意得B（3，1）．
    若直线经过点A（3，0）时，则b=
    3
    2
    ．
    若直线经过点B（3，1）时，则b=
    5
    2
    ．
    若直线经过点C（0，1）时，则b=1．
    ①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤
    3
    2
    时，
    如图：

    此时E（2b，0），∴S=
    1
    2
    OE•CO=
    1
    2
    ×2b×1=b；                 
    ②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即
    3
    2
    ＜b＜
    5
    2
    时，
    如图：
    2
    此时E（3，b-
    3
    2
    ），D（2b-2，1），
    ∴S=S矩-（S△OCD+S△OAE+S△DBE）
    =3-[
    1
    2
    （2b-1）×1+
    1
    2
    ×（5-2b）•（
    5
    2
    -b    ）+
    1
    2
    ×3（b-
    3
    2
    ）]=
    5
    2
    b-b2    ．
    ∴S=
    b，1＜b≤
    3
    2
    5
    2
    b-b2，
    3
    2
    ＜b＜
    5
    2
    ；
    （2）如图3：

    设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，
    则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．
    由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形．
    根据轴对称知，∠MED=∠NED．
    又∠MDE=∠NED，∴∠MED=∠MDE，∴MD=ME，∴平行四边形DNEM为菱形．
    过点D作DH⊥OA，垂足为H，
    由题易知，tan∠DEN=
    1
    2
    ，DH=1，∴HE=2，
    设菱形DNEM 的边长为a，
    则在Rt△DHM中，由勾股定理知：a2=（2-a）2+12，解得a=
    5
    4
    ．
    ∴S四边形DNEM=NE•DH=
    5
    4
    ．
    ∴矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为
    5
    4
    ．
    点评：本题考查了函数模型选择及应用，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了学生的抽象思维能力和运算能力，属于较难的题目．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下表显示出函数y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（　　）
    x -2 -1 0 1 2 3
    y  
    1
    16
    		 0.26 1.11 3.96 16.05 63.98
    A、一次函数模型
    B、二次函数模型
    C、指数函数模型
    D、对数函数模型

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    ln2
    2
    ，
    ln3
    3
    ，
    ln5
    5
    的大小关系是（　　）
    A、
    ln3
    3
    ＞
    ln2
    2
    ＞
    ln5
    5
    B、
    ln2
    2
    ＞
    ln3
    3
    ＞
    ln5
    5
    C、
    ln5
    5
    ＞
    ln2
    2
    ＞
    ln3
    3
    D、
    1n3
    3
    ＞
    ln5
    5
    ＞
    ln2
    2

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    cx+1，(0＜x＜c)
    2
    x
    c2
    +1，(c≤x＜1)
    ，且f(c2)=
    9
    8
    ．
    （1）求实数c的值；
    （2）解不等式f(x)＞
    		2
    8
    +1    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定点A（2，0），点P（x，y）的坐标满足
    x-4y+3≤0
    3x+5y-25≤0
    x-a≥0
    ，当
    OP
    •
    OA
    |
    OA
    |
    （O为坐标原点）的最小值是2时，实数a的值是
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    图①、图②、图③分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．图②中E为AB的中点，图③中AJ＞JB．判断三人行进路线长度的大小关系为（　　）
    A、甲=乙=丙
    B、甲＜乙＜丙
    C、乙＜丙＜甲
    D、丙＜乙＜甲

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    计算：-2-2+3(tan60°)-1-
    		(1-
    		3
    )    2
    -(π-3.14)0    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知
    a
    =（sina-cosa，2007），
    b
    =（sina+cosa，1），且
    a
    ∥
    b
    ，则tan2a-
    1
    cos2a
    =（　　）
    A、-2007
    B、-
    1
    2007
    C、2007
    D、
    1
    2007

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    已知tanα=3，则
    sinα+cosα
    sinα-cosα
    =
     
    ．

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