Question

已知函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a，且f(

π

6

)=4．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

3

]上的值域．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由f(

π

6

)=4可得关于a的方程，解方程可得；
（Ⅱ）化简可得f（x）=2sin(2x+

π

6

)+2，由x的范围和三角函数公式可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(

π

6

)=4，
∴2×(

3

2

)2+2

3

×

1

2

×

3

2

+a=4
解关于a的方程可得a=1．
（Ⅱ）化简可得f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+1
=cos2x+

3

sin2x+2=2sin(2x+

π

6

)+2．
∵-

π

4

≤x≤

π

3

，∴-

π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴-

3

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，∴2-

3

≤f(x)≤4，
∴函数f（x）的值域为[2-

3

，4]

点评：本题考查三角函数公式，涉及三角函数的值域，属基础题．