Question

2．设函数f（x）=alnx+$\frac{1-a}{2}$x²-bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0
（ I）求b；
（II）若存在x₀≥1，使得f（x₀）＜$\frac{a}{1-a}$，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），求出b的值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（ I）f'（x）=$\frac{a}{x}$+（1-a）x-b，
由题设知 f'（1）=0，解得b=1．…（2分）
（Ⅱ） f （x）的定义域为（0，+∞），
由（Ⅰ）知，f（x）=alnx+$\frac{1-a}{2}{x^2}$-x，
f'（x）=$\frac{a}{x}+（1-a）x-1=\frac{1-a}{x}（{x-\frac{a}{1-a}}）（{x-1}）$…（4分）
（i）若a≤$\frac{1}{2}$，则$\frac{a}{1-a}$≤1，
故当x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）在[1，+∞）上单调递增．…（5分）
所以，存在x₀≥1，使得f（1）＜$\frac{a}{a-1}$，…（6分）
即$\frac{1-a}{2}-1＜\frac{a}{a-1}$，所以-$\sqrt{2}-1＜a＜\sqrt{2}$-1，
满足a≤$\frac{1}{2}$，所以-$\sqrt{2}-1＜a＜\sqrt{2}$-1符合题意…（8分）
（ii）若$\frac{1}{2}$＜a＜1，则$\frac{a}{1-a}$＞1，故当x∈（1，$\frac{a}{1-a}$）时，f'（x）＜0，
x∈（$\frac{a}{1-a}$，+∞）时，f'（x）＞0，
f（x）在（1，$\frac{a}{1-a}$）上单调递减，f （x）在（$\frac{a}{1-a}$，+∞）单调递增．…（10分）
所以，存在x₀≥1，使得 f（x₀）＜$\frac{a}{a-1}$的充要条件为$f（{\frac{a}{1-a}}）＜\frac{a}{a-1}$，
而$f（\frac{a}{1-a}）=aln\frac{a}{1-a}+\frac{a^2}{{2（{1-a}）}}+\frac{a}{1-a}＞\frac{a}{1-a}$，所以不合题意．…（12分）
（ⅲ） 若a＞1，则f（1）=$\frac{1-a}{2}-1=\frac{-1-a}{2}＜\frac{a}{a-1}$．所以a＞1符合题意．…（13分）
综上，a的取值范围为：$（{-\sqrt{2}-1，\sqrt{2}-1}）∪（{1，+∞}）$…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．