Question

12．已知函数f（x）=$\frac{mx}{{{x^2}+n}}$（m，n∈R）在x=1处取得极值2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=ax-lnx，若对任意的${x_1}∈[\frac{1}{2}，2]$，总存在唯一的x₂∈[$\frac{1}{e^2}$，e]（e为自然对数的底数）使得g（x₂）=f（x₁），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，利用函数的极值求出m，n，得到函数的解析式．
（2）化简导函数，求出函数的f（x）在$[\frac{1}{2}，2]$的值域为$[\frac{8}{5}，2]$，求出$g'（x）=a-\frac{1}{x}$，记$M=[\frac{1}{e^2}，e]$通，过①当$a≤\frac{1}{e}$时，②当$\frac{1}{e}＜a＜{e^2}$时，③当a≥e²时，利用的最值以及函数的单调性，推出a的取值范围．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{{m（{x^2}+n）-2m{x^2}}}{{{{（{x^2}+n）}^2}}}=\frac{{-m（{x^2}-n）}}{{{{（{x^2}+n）}^2}}}$．
∵f（x）在x=1处取得极值2，∴$\left\{{\begin{array}{l}{f'（1）=0}\\{f（1）=2}\end{array}}\right.$的，解之得$\left\{{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=1}\end{array}}\right.$．
故$f（x）=\frac{4x}{{{x^2}+1}}$．
（2）由（1）知$f'（x）=\frac{-4（x-1）（x+1）}{{{{（{x^2}+n）}^2}}}$，
故f（x）在$（\frac{1}{2}，1）$上单调递增，（1，2）上单调递减．又$f（1）=2，f（2）=f（\frac{1}{2}）=\frac{8}{5}$，
故f（x）在$[\frac{1}{2}，2]$的值域为$[\frac{8}{5}，2]$，
依题意$g'（x）=a-\frac{1}{x}$，记$M=[\frac{1}{e^2}，e]$，∵x∈M，∴$\frac{1}{e}≤\frac{1}{x}≤{e^2}$．
①当$a≤\frac{1}{e}$时，$g'（x）=a-\frac{1}{x}≤0$，g（x）在M上单调递减，
依题意得：$\left\{{\begin{array}{l}{g（e）≤\frac{8}{5}}\\{g（\frac{1}{e^2}）≥2}\end{array}}\right.$，得$0≤a≤\frac{1}{e}$；
②当$\frac{1}{e}＜a＜{e^2}$时，$\frac{1}{e^2}＜\frac{1}{a}＜e$．g（x）在$（\frac{1}{e^2}，\frac{1}{a}）$单调递减，在$（\frac{1}{a}，e）$单调递增，由题意知$\left\{{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{e^2}）＜\frac{8}{5}}\\{g（e）≥2}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{e^2}）≥2}\\{g（e）＜\frac{8}{5}}\end{array}}\right.$，解之得$\frac{1}{e}＜a＜\frac{13}{5e}$，
③当a≥e²时，$g'（x）=a-\frac{1}{x}＞0$，g（x）在M上单调递增，
依题意得：$\left\{{\begin{array}{l}{g（e）≥2}\\{g（\frac{1}{e^2}）≤\frac{8}{5}}\end{array}}\right.$，得a∈φ．
综上，所求a的取值范围为$[0，\frac{13}{5e}）$．

点评 本题考查分类讨论思想以及转化思想的应用，函数的导数的应用，考查构造法求解函数的导数以及函数的极值，考查分析问题解决问题的能力．