Question

14．已知数列{a_n}的各项均为正整数，对于n∈N^*有a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{n}+5，{a}_{n}为奇数}\\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{k}}，{a}_{n}为偶数}\end{array}\right.$^（其中k为使a_n+1为奇数的正整数）．a₁=11时，a₆₅=31．

Answer 1

分析 由已知数列递推式求出数列的前几项，发现数列从第三项开始是周期为6的周期数列，故a₆₅=a_{3+（6×10+2）}=a₅=31．

解答 解：由a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{n}+5，{a}_{n}为奇数}\\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{k}}，{a}_{n}为偶数}\end{array}\right.$，且a₁=11，
得a₂=3×11+5=38，${a}_{3}=\frac{38}{2}=19$，a₄=3×19+5=62，${a}_{5}=\frac{62}{2}=31$，
a₆=3×31+5=98，${a}_{7}=\frac{98}{2}=49$，a₈=3×49+5=152，${a}_{9}=\frac{152}{{2}^{3}}=19$，
∴数列{a_n}从第三项开始是周期为6的周期数列．
则a₆₅=a_{3+（6×10+2）}=a₅=31．
答案为：31．

点评 本题考查数列递推式，关键是对数列周期的发现，是中档题．