Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0），F（﹣c，0）为其左焦点，点P（﹣ ，0），A1 ， A2分别为椭圆的左、右顶点，且|A1A2|=4，|PA1|= |A1F|．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A1作两条射线分别与椭圆交于M、N两点（均异于点A1），且A1M⊥A1N，证明：直线MN恒过x轴上的一个定点．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵|A1A2|=4，∴a=2，

又∵|PA1|= |A1F|，∴ ，

整理得 ，∴c= ，

则b2=a2﹣c2=1．

∴椭圆C的方程为 ；

（2）证明：由已知直线MN与y轴不垂直，假设其过定点T（n，0），设其方程为x=my+n，

联立 ，得（m2+4）y2+2mny+n2﹣4=0．

设M（x1，y1），N（x2，y2），则 ， ．

∴x1+x2=m（y1+y2）+2n， ．

∵A1M⊥A1N，∴ ．

∴x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=0，

∴ ．

即 ．

化简得：（n+2）（5n+6）=0，

若n=﹣2，则T与A重合，不合题意，

∴n+2≠0，

整理得n=﹣ ．

综上，直线MN过定点T（ ）．

【解析】（1）由已知列出关于a、c的方程组，求解可得其值，再由隐含条件求出b，进而求出椭圆方程。（2）根据已知直线与y轴不垂直，假设其过定点T，设出其所在方程并和椭圆方程联立，利用韦达定理结合垂直关系即可求得。