Question

【题目】已知函数（，）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，，求k的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）或

【解析】

（1）将函数求导并化简，对分成两种情况，讨论函数的单调性.（2）原不等式即（），当时，上述不等式显然成立.当时，将不等式变为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此求得的取值范围.

解：（1） ．

①若，当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减．

②若，当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增．

∴当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）（），

当时，上不等式成立，满足题设条件；

当时，，等价于，

设，则 ，

设（），则，

∴在上单调递减，得．

①当，即时，得，，

∴在上单调递减，得，满足题设条件；

②当，即时，，而，

∴，，又单调递减，

∴当，，得，

∴在上单调递增，得，不满足题设条件；

综上所述，或．