Question

【题目】下列说法正确的个数是（ ）

①设某大学的女生体重与身高具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的线性回归方程为 ，则若该大学某女生身高增加，则其体重约增加；

②关于的方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

③过定圆上一定点作圆的动弦，为原点，若，则动点的轨迹为椭圆；

④已知是椭圆的左焦点，设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，则直线（为原点）的斜率的取值范围是.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据回归方程的意义判断①；先推出方程的一根大于1 , 一根大于0小于1,结合椭圆与双曲线离心率定义可判断②；利用参数法求出动点的轨迹可判断③；由题意画出图形，得到满足直线的斜率大于的所在的位置，求出直线的斜率的取值范围可判断④.

①根据回归方程的意义，结合回归方程为 ，可得该大学某女生身高增加，则其体重约增加，正确；

②关于的方程的两根之和大于2 , 两根之积等于1, 故两根中，一根大于1 , 一根大于0小于1,可分别作为椭圆和双曲线的离心率,正确；

③设定圆的方程为，定点，设，，由，得，消去参数，得，即动点的轨迹为圆，③错误.

④由，得，

则，如图：

过作垂直于轴的直线，交椭圆于，过斜率为的直线与椭圆交于，当在椭圆弧上上时，符合题意， 又，，，当在椭圆弧上时，直线 的斜率的取值范围是 ，当在椭圆弧上时， 直线的斜率的取值范围是，即满足直线的斜率大于，直线的斜率的取值范围是正确，综上可知正确命题个数为3，故选C.