Question

【题目】已知函数，，.

（1）当时，讨论函数的零点个数．

（2）的最小值为，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值，从而得到零点的个数；

（2），求导得，可以判断存在零点，可以求出函数的最小值为，可以证明出：

，，可证明在上有零点，

的最小值为，结合，可求的最小值为.

（1）的定义域为，.

①当时，，单调递增，又，，

所以函数有唯一零点；

②当时，恒成立，所以函数无零点；

③当时，令，得.

当时，，单调递减；当时，，单调递增.

所以.

当时，，所以函数无零点.

综上所述，当时函数无零点.当，函数有一个零点.

（2）由题意得，，则，令，则，

所以在上为增函数，即在上为增函数.

又，，所以在上存在唯一零点，

且，，即.

当时，，在上为减函数，当时，，

在上为增函数，的最小值.

因为，所以，所以.

由得，易知在上为增函数.

因为，所以，，所以在

上存在唯一零点，且，，当时，

，在上为减函数，当时，，在

上为增函数，所以的最小值为，

因为，所以，所以，

又，所以，

又函数在上为增函数，所以，

因为，所以，即在上的最小值为0.