【题目】某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用
（单位：千万元）对年销售量
（单位：千万件）的影响，统计了近
年投入的年研发费用
与年销售量
的数据，得到散点图如图所示：
（Ⅰ）利用散点图判断，
和
（其中
，
为大于
的常数）哪一个更适合作为年研发费用和年销售量的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）对数据作出如下处理：令
，
，得到相关统计量的值如下表：
根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求关于的回归方程；
（Ⅲ）已知企业年利润
（单位：千万元）与，的关系为
（其中
），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
【答案】（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型
更适合；
（Ⅱ）
；
（Ⅲ）要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.
【解析】
（Ⅰ）根据散点图的特点可知，相关关系更接近于幂函数类型；
（Ⅱ）根据所给数据，代入公式求得回归直线的方程；
（Ⅲ）先求出年利润的表达式，结合不等式特点利用导数可得最值.
（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型
更适合．
（Ⅱ）对两边取对数，得
，即
由表中数据得：
，
∴
，
∴
，
∴年研发费用
与年销售量
的回归方程为.
(Ⅲ)由（Ⅱ）知，
，
∴
，
令
，得
，
且当
时，
,
单调递增；
当
时，
,单调递减．
所以当千万元时，年利润
取得最大值，且最大值为
千万元.
答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.
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【题目】某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数
（万人）与年份
的数据：
第 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
旅游人数 | 300 | 283 | 321 | 345 | 372 | 435 | 486 | 527 | 622 | 800 |
该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型：
模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程
；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线
的附近．
（1）根据表中数据，求模型②的回归方程
．（
精确到个位，
精确到0．01）．
（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数
，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．
回归方程 | ① | ② |
| 30407 | 14607 |
参考公式、参考数据及说明：
①对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
．
②刻画回归效果的相关指数
．
③参考数据：
，
．
|
|
|
|
|
|
5．5 | 449 | 6．05 | 83 | 4195 | 9．00 |
表中
．
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【题目】如图，四棱锥
中，底面
是矩形，面
底面
，且
是边长为
的等边三角形， 
在
上，且
面
.
（1）求证: 
是
的中点；
（2）在
上是否存在点
，使二面角
为直角？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系
中，抛物线C关于
轴对称，顶点为坐标原点，且经过点
．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2） 过点
的直线交抛物线于M、N两点．是否存在定直线
，使得l上任意点P与点M，Q，N所成直线的斜率
，
，
成等差数列．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
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【题目】在平面直角坐标系
中，设椭圆
.
(1)过椭圆
的左焦点，作垂直于
轴的直线交椭圆于
、
两点，若
，求实数
的值；
(2)已知点
，
、
是椭圆上的动点，
，求
的取值范围；
(3)若直线
与椭圆交于
、
两点，求证：对任意大于3的实数，以线段
为直径的圆恒过定点，并求该定点的坐标.
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【题目】某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行了体质测试．现从两个年级学生中各随机选取20人，将他们的测试数据，用茎叶图表示如图：《国家学生体质健康标准》的等级标准如表．规定：测试数据≥60，体质健康为合格．
等级 | 优秀 | 良好 | 及格 | 不及格 |
测试数据 |
|
|
|
|
（Ⅰ）从该校高二年级学生中随机选取一名学生，试估计这名学生体质健康合格的概率；
（Ⅱ）从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生，求选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率；
（Ⅲ）设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为
，高二学生测试数据的平均数和方差分别为
，试估计
、
的大小．（只需写出结论）
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