Question

10．设命题p：函数$f（x）=lg（a{x^2}-x+\frac{a}{16}）$的定义域为R；命题q：3^x-9^x＜a对一切的实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a＜2
• B． a≤2
• C． a≥2
• D． a＞2

Answer 1

分析 分别求出命题p，命题q为真时，实数a的取值范围，再求出“p且q”为真命题时，实数a的取值范围，进而可得答案．

解答 解：若函数$f（x）=lg（a{x^2}-x+\frac{a}{16}）$的定义域为R，
故$a{x}^{2}-x+\frac{a}{16}＞0$恒成立，
故$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=1-\frac{1}{4}{a}^{2}＜0\end{array}\right.$，
解得：a＞2，
故命题p：a＞2，
若3^x-9^x＜a对一切的实数x恒成立，
则t-t²＜a对一切的正实数t恒成立，
故a＞$\frac{1}{4}$，
故命题q：a＞$\frac{1}{4}$，
若命题“p且q”为真命题，则a＞2，
故命题“p且q”为假命题时，a≤2，
故选：B

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了恒成立问题，指数函数对数函数的图象和性质，转化思想，难度中档．