Question

2．某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（$\frac{v}{20}$）²km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？

Answer 1

分析 由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（$\frac{v}{20}$）²km+400km所用的时间，即可得到函数的解析式，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，
由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（$\frac{v}{20}$）²km+400km所用的时间，
因此y=$\frac{25×（\frac{v}{20}）^{2}+400}{v}$=$\frac{25v}{400}$+$\frac{400}{v}$，
因为y=$\frac{25v}{400}$+$\frac{400}{v}$≥2$\sqrt{\frac{25v}{400}•\frac{400}{v}}$=10，
当且仅当，即v=80时取“=”．
故这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，物资能最快送到灾区．

点评 本题考查基本不等式在最值问题中的应用，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．