Question

14．已知f（x）=cos（$\frac{π}{2}$+x）．
（1）试写出f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在[-$\frac{π}{2}$，a]上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦函数的单调性和复合函数的单调性，求出函数的单调区间；
（2）先求出函数f（x）的单调递减区间，根据f（x）在[-$\frac{π}{2}$，a]上单调递减，建立不等式关系即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=cos（$\frac{π}{2}$+x）=-sinx，
则单调递增区间为[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，（k∈z），
单调递减区间为[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，（k∈z）；
（2）由（1）知函数f（x）的单调递减区间为[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，（k∈z）；
∴当k=0时，递减区间为[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
若f（x）在[-$\frac{π}{2}$，a]上单调递减，
则-$\frac{π}{2}$＜a≤$\frac{π}{2}$，
即实数a的取值范围是（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．

点评 本题考查了复合三角函数的单调性，即需由正弦函数的单调性和整体思想，求出原函数的单调区间，考查了整体思想．