Question

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{cosB-2cosA}{2a-b}$=$\frac{cosC}{c}$．
（1）求$\frac{a}{b}$的值；
（2）若角A是钝角，且c=3，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知式子，结合三角函数公式和正弦定理以及三角形的内角和可得a=2b，$\frac{a}{b}$=2；
（2）由三角形三边关系和，余弦定理可得cosA＜0，解不等式组可得b的范围．

解答 解：（1）∵在△ABC中$\frac{cosB-2cosA}{2a-b}$=$\frac{cosC}{c}$，
∴c（cosB-2cosA）=（2a-b）cosC，
∴sinC（cosB-2cosA）=（2sinA-sinB）cosC，
∴sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosC+2cosAsinC，
∴sin（B+C）=2sin（A+C），
∴sinA=2sinB，∴a=2b，即$\frac{a}{b}$=2；
（2）由（2）可得a=2b，由三角形三边关系可得b+c＞a=2b，
解得b＜c=3，由角A是钝角可得cosA＜0，
∴由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+9-4{b}^{2}}{2b×3}$＜0，解得-3＜b＜3，
综合可得b的取值范围为（0，3）．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的边角关系和三角函数公式，属中档题．