Question

11．设函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos2x．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，且α∈（$\frac{π}{2}$，π），求f（α）的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），由此得到函数增区间．
（2）由题意可得sinα=$\frac{3}{5}$，由α∈（$\frac{π}{2}$，π），可得cosα=-$\frac{4}{5}$，根据二倍角公式可得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos2x．
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$cos2x．
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴当2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，得：kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间是[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z）．
（2）∵f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
∴sinα=$\frac{3}{5}$，∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴cosα=-$\frac{4}{5}$，
∴f（α）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α+$\frac{3}{2}$cos2α=$\sqrt{3}$sinαcosα+$\frac{3}{2}$（2cos²α-1）
=$\frac{71-32\sqrt{3}}{50}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换、三角函数的图象与性质和二倍角公式．