Question

15．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，$AB=2，BC=2\sqrt{2}，E$为BC的中点，连接AE，BD，交点H，PH⊥平面ABCD，M为PD的中点．
（1）求证：平面MAE⊥平面PBD；
（2）设PE=1，求二面角M-AE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出BH⊥AE，PH⊥AE，从而AE⊥平面BPD，由此能证明平面MAE⊥平面PBD．
（2）由HB，HE，HP两两垂直，分别以HB，HE，HP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-AE-C的余弦值．

解答 证明：（1）在矩形ABCD中，∵△ABE～△DAB，
∴∠BAE=∠ADB，
∴∠BAE+∠ABD=$\frac{π}{2}$，∴BH⊥AE，
∵PH⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PH⊥AE，又∵BH∩PH=H，
BH，PH?平面BPD，又∵AE?平面MAE，
∴平面MAE⊥平面PBD．
解：（2）由（1）知，HB，HE，HP两两垂直，
分别以HB，HE，HP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则A（0，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，0），E（0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$，0），P（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），C（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，0），
D（-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0，0），M（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{6}$），
$\overrightarrow{ME}$=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$），$\overrightarrow{MA}$=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$），
设MAE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{n}=\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{6}}{3}y-\frac{\sqrt{3}}{6}z=0}\\{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{n}=\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{6}}{3}y-\frac{\sqrt{3}}{6}z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，4），
平面AEC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角M-AE-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{17}}$=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，
∴二面角M-AE-C的余弦值为$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．