Question

10．已知（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁵的常数项为15，则函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）-$\frac{a}{x+1}$在区间[-$\frac{2}{3}$，2]上的值域为[0，10]．

Answer 1

分析 利用二项式定理的通项公式求出a，在结合函数的单调性即可求解在区间[-$\frac{2}{3}$，2]上函数f（x）的值域．

解答 解：由题意（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁵的常数项为15，即${C}_{5}^{r}（-\frac{a}{{x}^{2}}）^{r}（{x}^{\frac{1}{2}}）^{5-r}$中$-2r+\frac{1}{2}（5-r）=0$，解得：r=1，
则${C}_{5}^{1}（-a）^{1}=15$，可得a=-3．
那么可得函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）+$\frac{3}{x+1}$，
∵在区间[-$\frac{2}{3}$，2]上y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）和y=$\frac{3}{x+1}$都是减函数，
∴函数f（x）在区间[-$\frac{2}{3}$，2]上是减函数
当x=$-\frac{2}{3}$时，函数f（x）取得最大值为10．
当x=2时，函数f（x）取得最小值为0．
∴函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）+$\frac{3}{x+1}$在区间[-$\frac{2}{3}$，2]上的值域为[0，10]
故答案为：[0，10]

点评 本题考查二项式定理的通项公式和对数函数的单调性的判断以及运用求解值域的问题，属于中档题．