Question

19．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tcosφ}\\{y=1+tsinφ}\end{array}\right.$（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρ=4cosθ．
（Ⅰ）求l的普通方程和C的直角坐标方程；
（Ⅱ）当φ∈（0，π）时，l与C相交于P，Q两点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求l的普通方程和C的直角坐标方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆心坐标为C（2，0），半径为2，直线过点A（3，1），CA⊥PQ时，可求|PQ|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tcosφ}\\{y=1+tsinφ}\end{array}\right.$（t为参数），普通方程为y-1=tanφ（x-3），
圆C的方程为ρ=4cosθ，直角坐标方程为x²+y²=4x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆心坐标为C（2，0），半径为2，直线过点A（3，1），∴|CA|=$\sqrt{2}$，
∴CA⊥PQ时，|PQ|的最小值为2$\sqrt{4-2}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三种方程的转化，考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，属于中档题．