Question

7．某大学高等数学老师这学期分别用A、B两种不同的教学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图如图：
（1）学校规定：成绩不得低于85分的为优秀，请填写如表的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”

	甲班	乙班	合计
优秀
不优秀
合计

下面临界值表仅供参考：

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.10	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）
（2）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率．

Answer 1

分析 （1）根据茎叶图，计算甲、乙两班不低于85分的学生数，填写列联表，
计算观测值K²，从而得出概率结论；
（2）用列举法计算从甲班成绩不得低于80分的6人中抽取2名的基本事件数，求出对应的概率值．

解答 解：（1）根据茎叶图，计算甲班不低于85分的学生数是有3人，乙班不低于85分有9人，
填写列联表，如下；

	甲班	乙班	合计
优秀	3	10	13
不优秀	17	10	27
合计	20	20	40

计算观测值K²=$\frac{40{×（3×10-10×17）}^{2}}{13×27×20×20}$≈5.584＞5.024 
因此，“能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关”
（2）甲班成绩不得低于80分的有6人，记为A、B、C、D、E、F，
其中86分有2人，记为E、F，
从这6人中随机抽取2名，基本事件是
AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、
CD、CE、CF、DE、DF、EF共15种，
成绩为86分的同学至少有一个被抽中的基本事件为
AE、AF、BE、BF、CE、CF、DE、DF、EF共9种，
故所求的概率为P=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了茎叶图、列联表以及独立性检验和列举法球概率的应用问题，是基础题目．