Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），点F₁，F₂是椭圆的左右焦点，点A是椭圆上的点，△AF₁F₂的内切圆的圆心为M，若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$+2$\overrightarrow{M{F}_{2}}$+2$\overrightarrow{MA}$=0，则椭圆的离心率为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 设点D是AF₂的中点，由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$+2$\overrightarrow{M{F}_{2}}$+2$\overrightarrow{MA}$=0⇒若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=-2（$\overrightarrow{M{F}_{2}}$+$\overrightarrow{MA}$）=-4$\overrightarrow{MD}$，
即三点F₁、M、D三点共线，且点M是靠近D的5等分点，△AF₁F₂与△AMF₂的面积比为5：1；
如图$\overrightarrow{M{F}_{1}}+2\overrightarrow{M{F}_{2}}=\overrightarrow{MF}$，有$\frac{M{F}_{2}}{{F}_{1}F}=\frac{MH}{HF}=1：2$，由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$+2$\overrightarrow{M{F}_{2}}$+2$\overrightarrow{MA}$=0，得2$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MF}$，⇒AM：MH=3：2，⇒△AF₁F₂与△AMF₁F₂的面积比为5：2

解答 解：设点D是AF₂的中点，
∵$\overrightarrow{M{F}_{1}}$+2$\overrightarrow{M{F}_{2}}$+2$\overrightarrow{MA}$=0⇒若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=-2（$\overrightarrow{M{F}_{2}}$+$\overrightarrow{MA}$）=-4$\overrightarrow{MD}$，
∴三点F₁、M、D三点共线，且点M是靠近D的5等分点，
△AF₁F₂与△AMF₂的面积比为5：1；
如图$\overrightarrow{M{F}_{1}}+2\overrightarrow{M{F}_{2}}=\overrightarrow{MF}$，有$\frac{M{F}_{2}}{{F}_{1}F}=\frac{MH}{HF}=1：2$，
由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$+2$\overrightarrow{M{F}_{2}}$+2$\overrightarrow{MA}$=0，得2$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MF}$，⇒AM：MH=3：2，
∴△AF₁F₂与△AMF₁F₂的面积比为5：2
又∵△AMF₂与△AMF₁F₂的面积比为AF₂：F₁F₂=1：2，
AF₂：F₁F₂：AF₁=1：2：2，∴2a=3c，
椭圆的离心率为$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$

点评 本题考查了椭圆的离心率、向量的线性运算，属于难题．